扑克中的数学,loat变成了强听牌,天选之人还是素材集锦?

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扑克中的数学,loat变成了强听牌,天选之人还是素材集锦?

Float(缠打)是一种比较进阶的扑克策略,其概念是在某一条街拿着几乎完全没有胜率的牌跟注对方下注,并希望在下一条街通过下注拿下底池的策略。常见的float打法是在flop有利位置跟注一个翻牌持续下注过多的玩家,当对手在turn上示弱时,争取通过转牌的下注拿下底池;如果对手继续开枪,那我们就放弃这个底池。但当我们的缠打缠着缠着成为了一手强听牌时,我们似乎就面临了一个窘境。原先的计划是对手如果在转牌继续开枪,我们就果断弃掉我们的垃圾牌;然而,当我们的牌有了不少的outs时,似乎弃牌显得相当可惜了。

所以我们到底应该如何处理这种情况呢?我们将在之后的几章专栏中持续地探讨这个问题。今天我们处理的是对手可能拿着中等牌力手牌的情况。

以这个道友的牌例为例,flop是Js8h2h,hero手持6s7s缠打,转牌9s,帮助hero形成combo draw,有多达15张的outs。这里我们姑且认为对手的手牌是两条街价值的成手牌,类似AJ、J8(甚至超对)这样的牌力,在河牌对手会选择过牌,并会考虑是否跟注hero的下注,那么此时hero与villain博弈的均衡点是什么样的呢?

首先明确下hero的策略,他在转牌可以弃牌(EV是0),而如果他跟注的话,河牌必须要在某些没听到牌的时候选择诈唬(否则对手可以选择永远不跟注他河牌的价值下注,而他在转牌的胜率又不足以支撑其底池赔率,这样他长期肯定是负EV的)。那么villain的策略就很简单了,他会以一定的概率在河牌选择跟注对手。

现在我们来设定所有的参数:转牌的pot大小为p,hero在转牌需要跟注的量为tp,其胜率为q,而河牌hero的bet大小为xp(不管是价值下注还是诈唬),河牌对手的弃牌率为a,而hero河牌下注中诈唬比例为b。

我们画一个树形图来表达一下这个博弈的过程:

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如上图所示,我们可以得到许多均衡点。

首先,当hero河牌没有成牌时,他放弃底池的收益为0,而他下注的收益是a(1+2t)p-xp(1-a)。而为了使hero下注与否是无差异的,villain必然会令hero下注的收益也是0。因此,我们有a(1+2t)p-xp(1-a)=0,可以得到a=x/(1+2t+x)。

其次,villain在河牌弃牌的收益是0,跟注的收益是b(1+2t+x)p-xp(1-b)。为了使villain在河牌call与不call是无差异的,hero必然会使得villain跟注的收益也是0。因此,我们有b(1+2t+x)p-xp(1-b)=0,可以得到b=x/(1+2t+2x)。

最后,我们可以得到hero整个跟注策略的总EV:q(1-a)(1+2t+x)p+qa(1+2t)p-tp,其中,a=x/(1+2t+x)。而他直接弃牌的EV是0,那么,求解方程q(1-a)(1+2t+x)p+qa(1+2t)p-tp=0即可得到我们所想得到的x值。

我们用一个excel图表来更清晰地看这个方程的意义。

为了方便起见,我们统一设定p=1。在本例中,q=0.3,t=1/2,对x采用穷举法,如图所示:

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我们会发现,在有如此高的胜率的情况下,跟注几乎总是正EV的选择。

而如果对胜率进行调整,如至0.20,我们会发现hero必须要在河牌攫取一定的价值才可以保持平衡:

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而当胜率变为0.16时,获取正EV的条件忽然就变得相当苛刻了,我们要完成一个超pot下注才能挽回我们的损失,同时要求对手有接近50%的弃牌率:

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而改变转牌对手下注的大小也会使得我们平衡的条件变化,如果提升t至3/4,我们会发现就算有20%的胜率,跟注也很难有什么价值了:

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而当t值变为1时,胜率0.25的情况还是可以保持收益的,只要你在河牌能打一个半pot以上的注码,而对手弃牌率可以达到1/3即可,看起来并不那么困难。

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而这么看来,本例中的0.30的胜率真的是很难不盈利啊!看起来我们这位道友的想法有点想当然了!

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